>>749 さん
たぶんできたとおもいます^^;
しかしながら、高校範囲の言葉では考えていませんでした。
そのことについては申し訳ございません^^;
(初等数論を高校のそれに含めるならば高校の範囲ですが^^;)
もっとずっと頭の良い解答があるかもしれませんが、
私には思いつきそうにないので、その場合、指摘おねがいしますね^^

先に結論をいうと存在しません^^;　以下証明です^^
a^3-c^3=3ab^2-3cd^2+1
b^3-d^3=3ba^2-3dc^2+1
を満たす整数a,b,c,d(abcd≠0)の組が存在したと仮定します。

以下、整数環A=Z[√-1]の中で考えます。
x=a+bi∈A, y=c+di∈A とおくとき、(i:虚数単位)
x^3-y^3 = 1-i の成立がいえます。
これから、(x-y)(x^2+xy+y^2) = 1-i が得られます。
1-iは素元ですから、AがUFDであることを用いれば、
次の(ⅰ),(ⅱ)のいずれかの成立がいえます。

(ⅰ) x-y=ε かつ x^2+xy+y^2=ζ(1-i) (εは単数で ζはεの共役)
(ⅱ) x-y=ε(1-i) かつ x^2+xy+y^2=ζ (εは単数で ζはεの共役)