修正しました。スレ汚しすみません
なんか、これで自分が数学出来ない理由がわかった気がします……

a≧0, c≧0において、
a/b+c/d=(a+c)/(b+d)　(b≠0, d≠0, b+d≠0) が成り立つとき、
a/b+c/d-(a+c)/(b+d)=0
両辺に(b+d)をかけて、(a(b+d))/b+(c(b+d))/d-(a+c)=0
通分して、(ad(b+d)+bc(b+d)-bd(a+c))/bd=0
b≠0, d≠0より bd≠0であるから、 ad(b+d)+bc(b+d)-bd(a+c)=0
展開・整理して、ad^2+b^2c=0…(A)
ここで、b≠0, d≠0より、b^2>0, d^2>0で、
a≧0, c≧0であるから、ad^2≧0, b^2c≧0
したがって、(A)が成り立つとき、
ad^2=0, b^2c=0 すなわち、 a=0, c=0
したがって、a/b+c/d=(a+c)/(b+d)はa=0, c=0のときのみ成り立つ。

しかし、1/2+1/3=2/5はこれに適合しないから、成り立たない。■