>ρの存在についてはUlam予想の変形の過程で示されている（∵ノードの個数が等しい）

これが間違いの元。
あなたは、 G-u ~ H-rho(u) が全てのuで成り立つような「uに依存しない」写像rhoの存在を仮定してるけど、
これは証明するべきことですよ。
貴方の仮定『 There exists rho such that G-u ~ H-rho(u) for all u』(rhoはuによらない）
予想の仮定『 For each u, there exists rho such that G-u ~ H-rho(u)』（rhoはuによる）