予想の仮定で、「ρはuとvに依存して定まる」とありますから、明示的に\rho_{u,v}のように書くべきだと思います。
さて、そのような同型写像（たち）の存在を仮定して
\rho: G -> Hの存在を証明すべきですが・・・。
「\rho: G -> Hの存在を仮定」して「\rho: G -> Hの存在を主張」してませんか？