天津飯と餃子の人種
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0001つっちぃ
2010/09/17(金) 18:38:18どうなっているだろうか？
0002粋蕎
2010/09/17(金) 20:27:21天の方は、異星から来た三つ目人という、公式の後付けが仕方無く認定
餃子の方は何だかな、グルドみたい…あら？こんな日に天さんから呑みのお誘いが
0003つっちぃ
2010/09/17(金) 21:04:480004１３２人目の素数さん
2010/09/19(日) 21:37:520005１３２人目の素数さん
2010/09/28(火) 21:07:25・カレ−ライス
・牛丼
・天津飯
・スパゲティ
のどれか一つ、利用者全員が同じ種類のものを食べます。
４品を出す日程を工夫して、どの日から何泊している人にとっても
同じパターンが 続けて 繰り返すことがないようにしたい。
さて、どのような方法で毎日のメニューを決めていけばよいでしょうか？
「同じパターンが 続けて 繰り返す」の例
…天天… …カ牛カ牛… …牛ス天ス牛ス天ス…
（数セミ、Vol.37, No.7 エレ解, 出題2 (1998/07)）
0006１３２人目の素数さん
2010/09/28(火) 21:16:17数列 {a_n} を次のように定義する。（m,rは自然数）
a_n = 1, {n=4m-3 のとき}
a_n = 2, {n=(2^r)･(4m-3) のとき}
a_n = 3, {n=4m-1 のとき}
a_n = 4, {n=(2^r)･(4m-1) のとき}
これは a_{2n-1} a_{2n} = φ(a_n) をみたす。ただし
φ(1) = 1 2
φ(2) = 3 2
φ(3) = 1 4
φ(4) = 3 4
（数セミ、Vol.37, No.10, エレ解, 解説2 (1998/10)）
〔問題1〕
数列 {a_n} には、同じパターンが 続けて 繰り返すことがないことを示せ。
0007１３２人目の素数さん
2010/09/28(火) 21:48:362003/12/24 米国ワシントン州においてBSE(牛海綿状脳症)感染疑惑牛発見の発表。
2003/12/26 政府、米国産牛肉の輸入禁止を決定。
2004/02/11 禁輸により牛肉の在庫が無くなったため、牛丼の販売を休止
……というわけで、牛丼を除く３品にメニューを減らすことになりました。
さて、上記のことは依然として実現できるでしょうか？
0008１３２人目の素数さん
2010/09/28(火) 22:47:17任意の整数xは、平衡３進法で
x = Σ[n=0,h] 3^n･t_n,
と表わされる。（ただし t_n =-1,0,1 n>h のとき t_n=0）
0 と t の互換を σ(t) と表わす。
σ(t)^2 = I,
σ(0) = I,
数列 {b_x} を次式で定義する。
b_x = σ(t_h)・σ(t_(h-1))・･････・σ(t_1)・σ(t_0) {0}
これは b_(3x) = b_x,
b_(x - 3^h) = σ(-1) b_x, |x| ≦ (3^h -1)/2,
b_(x + 3^h) = σ( 1) b_x, |x| ≦ (3^h -1)/2,
をみたす。
（数セミ、Vol.37, No.10, エレ解, 解説2 (1998/10)）
〔問題2〕
数列 {b_x} にも、同じパターンが 続けて 繰り返すことがないことを示せ。
0009１３２人目の素数さん
2010/09/30(木) 23:45:32背理法による。
{a_n} に周期Lの繰り返しがあったと仮定する。
L = (2^λ)*L ', L 'は奇数
とおく。
{a_n} は奇数と偶数が交互に出て来るので、明らかにLは偶数で、λ>0,
したがって、連続するL個の整数の中に M = 2^(λ-1) * m (mは奇数) が存在する。
M + L = 2^(λ-1) * (m + 2L '),
m + 2L ' ≡ m + 2 ≠ m (mod 4)
よって a_M ≠ a_(M+L)
これは {a_n} に周期Lの繰り返しがあることに反する。 <終>
0010１３２人目の素数さん
2010/10/03(日) 04:39:07命題１. {b_(3x-1), b_(3x), b_(3x+1)} は {-1, 0, 1} のある順列になっている。
(略証) 互換σ(t) が数列のこの性質を変化させないことから明らか。
命題２. b_(3x) = b_x,
xが3の倍数である項のみを残して x を 1/3 倍したものは、元の数列の一部をなす。
>>8
hを固定して、最初の3項と最後の3項とに注目すると、
hが偶数のときは -1,0,1, ･････ ,-1,0,1 であり、
hが奇数のときは 0,-1,1, ･･････ ,-1,1,0 となる。
従って、hについての帰納法を用いれば 周期2以下の繰り返し部分はないことが分かる。
001110
2010/10/03(日) 04:45:31そこで、繰り返し部分の周期をLとする。(L≧3)
・Lが3の倍数のとき、xが3の倍数の項のみを残すと、周期L/3の繰り返し部分があることになる。
命題２から、hがよりり小さい{b_x} にも繰り返し部分があることになり、仮定に反する。
ここで便宜上、[b1, b2] = {-1, 0, 1} - {b1, b2} とおく。
・L≡1 (mod3) のとき
繰り返しの後半に、xが3の倍数であるものがある。そのうち最小のものをXとおく。
X≡0 (mod 3)
X-L ≦ x ≦ X+L-3 は繰り返し部分に含まれることに注意して
b_(X-1) = [b_X, b_(X+1)] = [b_(X-L), b_(X-L+1)] = b_(X-L+2)
= b_(X+2) = [b_(X+3), b_(X+4)] = [b_(X-L+3), b_(X-L+4)] = b_(X-L+5)
= ･･････
= b_(X+L-5) = [b_(X+L-4), b_(X+L-3)] = [b_(X-4), b_(X-3)] = b_(X-2),
∴ ｂ_(X-1) = b_(X-2),
∴ 周期が1の繰り返し部分を含む。(矛盾)
001211
2010/10/03(日) 04:48:22・L≡2 (mod3) のとき
繰り返しの後半に、x≡1 (mod 3) であるものがある。そのうち最小のものをXとおく。
X≡1 (mod 3)
{b_(X-5), b_(X-4), b_(X-3)} = {b_(X-2), b_(X-1), b_X} = {-1, 0, 1}
X-L ≦ x ≦ X+L-3 は繰り返し部分に含まれることに注意して
b_X = b_(X-L) = [b_(X-L+1), b_(X-L+2)] = [b_(X+1), b_(X+2)] = b_(X+3)
= b_(X-L+3) = [b_(X-L+4), b_(X-L+5)] = [b_(X+4), b_(X+5)] = b_(X+6)
= ･･････
= b_(X-8) = [b_(X-7), b_(X-6)] = [b_(X+L-7), b_(X+L-6)] = b_(X+L-5) = b_(X-5),
∴ b_X = b_(X-5),
∴ {b_(X-4), b_(X-3)} = {b_(X-2), b_(X-1)},
∴ 周期が1または2の繰り返し部分を含む。(矛盾)
(注) X が繰り返しの後半の最初か第二の要素のときは、X+L-2 も繰り返し部分に含まれる。
∴ b_X = b_(X-L) = ･･････ = b_(X+L-2) = b_(X-2),
∴ 周期が1の繰り返し部分を含む。(矛盾)
0013つっちぃ
2010/10/04(月) 21:57:22どっちがオトウトなんだろうか？
001412
2010/10/05(火) 23:42:14∴ b_X = b_(X-L) = ･･････ = b_(X+L-2) = b_(X-2),
∴ {b_(X-2), b_(X-1), b_X} が２つ以上の同じ要素を含む。(矛盾)
0015１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 17:01:33明らかではないが常識的に考えて天津飯が兄弟子、餃子が弟弟子｡
餃子は三つ目人ではないので実兄弟である可能性は限り無く低い｡
0016１３２人目の素数さん
2010/10/06(水) 17:03:260017１３２人目の素数さん
2010/10/10(日) 04:45:35分子遺伝学的に云えば、遺伝子（DNAやRNA）の塩基が３種類 以上（望ましくは４種類 以上）あれば、
どんなに多くの種類の（RNAや蛋白質）でも表わすことができるってことでつね。
>>16
遺伝子の塩基の種類が少なかったために、必要な物質を作れず、
生き延びることが出来なかった同期弟子の可能性も残っていた････
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