おいおい、(-1) * (-1) = 1を証明するのにイデアルとかいらんやろ
加法・乗法の結合法則や交換法則等の数式を一階の言語で書かれた公理と見なすだけ
あんたの言うところの集合ベースの環を定義するまでもなく、上のような環の一階理論だけで証明を記述できる
一階理論の意味がわからんなら自分で調べてくれや