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(-1)*(-1)=1を色んな方法で証明するスレ

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0001１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 11:21:24
X=(-1)*(-1)とおく。
x=(-1)*(1-2)=(-1)+(-1)*(-2)=(-1)+2X
X=1
0153１３２人目の素数さん2014/06/07(土) 15:54:39.20
ノルムから
||r||=√|x|^2+|y|^2＋・・・
これを正の数と同じように便宜上絶対値を外して　√x^2+y^2+・・・と書けるとすれば
負数の2乗を正数と認めざるをえない
0154１３２人目の素数さん2014/06/08(日) 00:48:50.68
>>152
逆だ。
分配則は、掛け算の定義の一部。
0155１３２人目の素数さん2014/06/08(日) 01:06:29.51
>>154
あーはいはい、
後で「掛け算」と呼ぶ予定の演算を定義した上で…
とでも言えば満足なのかな
0156１３２人目の素数さん2014/06/08(日) 01:13:43.57
違う。
分配則は、公理だから、
後にも先にも証明しない。
ただ仮定するだけ。
0157１３２人目の素数さん2014/06/08(日) 02:50:54.41
自然数から整数に拡張するという発想自体がないのか、この人は
0158１３２人目の素数さん2014/06/08(日) 15:52:25.16
ペアノ流のガチャガチャした小細工は、好きじゃない。
全ての無限環に共通な部分環として有理整数環があり、
そこに順序環の構造が入るから、自然数が区別される。

後者写像を使って加法を構成するよりも、
+1 を後者写像の定義にしたほうが、簡潔でよい。
0159１３２人目の素数さん2014/06/08(日) 16:29:47.35
おまえの好みで「違う」なんて言ってたのかよ
0160１３２人目の素数さん2014/06/08(日) 19:10:07.33
「違う」は、>>155 の解釈が違う
>>154 はそういう意味じゃない
という意味だが、判らなかったかね？
0161１３２人目の素数さん2014/06/09(月) 06:17:46.59
|-1|^2を(-1)^2と定義してるだけ

証明なんて後付け
0162１３２人目の素数さん2014/06/09(月) 06:56:09.34
x=-1のとき、(x+1)^2=0
x^2=-2x-1=(-2)(-1)-1=2(-1)(-1)-1=2x^2-1
∴x^2=(-1)(-1)=1
0163１３２人目の素数さん2014/06/09(月) 06:58:49.89
>>1と同じ...
0164１３２人目の素数さん2014/06/09(月) 11:55:27.50
>>161
そこで絶対値を使うと、
複素数への拡張が
うまくないよん。
0165１３２人目の素数さん2014/06/09(月) 18:49:38.92
1-1=0
移項して1=-1×(-1)　

一般的にはa-a=0から
a=-1×(-a)=a×-1×(-1)

これが示す事実は計算の中にもし-1×-1という部分が現れたら便宜的に1と置けるということ
0166１３２人目の素数さん2014/06/11(水) 04:42:18.44
>>158
念のため言っておくと、その特徴付けは集合論を前提としているよ
同型とか埋め込みという概念は集合を使ってる
集合抜きで整数を特徴付けようとしたら、結局、正整数について言及することになって、ペアノの公理とほとんど同じになるんじゃないかな
0167１３２人目の素数さん2014/06/11(水) 20:50:01.18
もちろん。
>>158 も、ペアノ自然数論 も、
集合論の上に記述されている。
集合ぬきで自然数を定義する話は、していない。
圏論スレから来たのか？
0168１３２人目の素数さん2014/06/11(水) 22:28:13.56
(-1) * (-1) = = 1 を証明するだけなら一般の環について考えておけば十分だし、それなら集合は必要ない
0169１３２人目の素数さん2014/06/11(水) 23:03:31.33
馬鹿言え。
環の定義を、集合ぬきで書いてみろ。

ペアノの公理が集合ぬきで書けると思う奴も、
実際に書いてみろ。
冗談になってへんで。
0170１３２人目の素数さん2014/06/11(水) 23:09:11.28
加法・乗法の結合法則や交換法則等の数式を一階の言語で書かれた公理と見なすだけ
集合論ベースの考えが身に染みつき過ぎてる人は、自分が小中学生だった頃、計算をどうしていたか思い出してみればいい
0171１３２人目の素数さん2014/06/12(木) 00:27:04.92
問題によって座標を10とか100とかシフトするのが面倒だから
座標の左下に負の数を対応させ
大きい数から引けば距離になる関係を保つように負の数同士の掛け算が定義された
数の性質というより座標の性質から来る自然なこと

って考えちゃだめ？
0172１３２人目の素数さん2014/06/12(木) 00:42:44.33
マイナス×マイナスなんて電荷みたいに定義をうまくつかって意図的に作られた量以外には
(3-2)(4-2)=2みたいなのを掛け算の性質を使って展開や移項することで偶然出てきちゃった量であって
そんなもんが出てきちゃっても計算が止まらないように-1*-1=|-1|×|-1|=1に定義したってだけだと思うけどな
0173１３２人目の素数さん2014/06/12(木) 10:04:09.66
>>170
演算の閉性は、どうやって表現する？
それ以前に、そもそも「演算」という概念を
写像ぬきでどうやって定義するんだ。
0174１３２人目の素数さん2014/06/12(木) 12:54:33.46
頭コチコチやなコイツは
0175１３２人目の素数さん2014/06/14(土) 09:32:32.50
>>170
頭が軟らかいと
集合の定義ぬきで
環が公理化できるのか
について、
小一時間問い詰めたい。
0176１３２人目の素数さん2014/06/14(土) 19:17:38.11
あんたは小中学生だった頃、イデアルみたいな集合を用いる概念を考えとったのかと
誰も環の定義なんぞに踏み込んでないのに

>>168を見よ
0177１３２人目の素数さん2014/06/15(日) 00:46:34.15
見たからこそ、>>175 を書いた。
「一般環」を定義してから言え。
0178１３２人目の素数さん2014/06/15(日) 01:42:40.74
おいおい、(-1) * (-1) = 1を証明するのにイデアルとかいらんやろ
加法・乗法の結合法則や交換法則等の数式を一階の言語で書かれた公理と見なすだけ
あんたの言うところの集合ベースの環を定義するまでもなく、上のような環の一階理論だけで証明を記述できる
一階理論の意味がわからんなら自分で調べてくれや
0179１３２人目の素数さん2014/06/15(日) 08:30:53.42
交換代数や互換の概念、数学発達史的にはまとめて行列式とかだしたくなるよな。集合論ベースで基礎づけというかそれより純代数的だと。
0180１３２人目の素数さん2014/06/15(日) 10:28:44.94
>>178
だから、その「一般環」の一階述語論理による
定義を実際に書いてみせろと言っている。
そこに集合が現れていなければ、納得するが。
0181１３２人目の素数さん2014/06/15(日) 11:59:00.42
>>180
>>168で「一般の環について考えておけば十分」と書いたのを誤解してこじらせているね

(-1) * (-1) = 1という等式は整数に限定せずとも、一般の環で意味を持つ、ということだ（>>167までの会話の流れを見よ）
さらに言えば、普通の意味での集合ベースの環に限定せずとも、環の一階理論の公理を満たしていさえすれば意味を持つし、
しかもその理論内で証明できる
0182１３２人目の素数さん2014/06/15(日) 12:02:05.46
訂正：

環の一階理論で意味を持つし、
しかもその理論内で証明できる
0183１３２人目の素数さん2014/06/15(日) 17:58:19.29
数学野郎って頭おかしいな
重複して引いてしまった部分の面積が1になるからでええやろ
0184１３２人目の素数さん2014/06/15(日) 18:24:14.92
経済学に虚数って出てくるよな。地価の下落分の線要素だもんな。
0185１３２人目の素数さん2014/06/15(日) 18:43:26.08
>>181
だから、集合ベースでない「環の一階理論」とやらを
具体的に書いてみろと繰り返し言ってんだよ。
集合の概念ぬきで環が定義できると主張するなら、
実際にやって見せろ。
0186１３２人目の素数さん2014/06/15(日) 18:51:58.50
(-0) * (-0) = 0
0187１３２人目の素数さん2014/06/16(月) 04:55:01.13
>>185
＞集合の概念ぬきで環が定義できると主張するなら
その人、そんなことは一言も言ってないよ。
あなただけが環を定義することにこだわってる。
問題になっているのはスレタイの式を証明することなのに。
0188１３２人目の素数さん2014/06/16(月) 04:59:27.57
>>185
「環の一階理論」ってこれのことでしょ↓
＞加法・乗法の結合法則や交換法則等の数式を一階の言語で書かれた公理と見なすだけ

もちろん、これは環を定義しているわけではない。
環の持つべき性質の一部に過ぎないが、スレタイの式を証明するためにはこれだけで十分な条件となっている。
0189１３２人目の素数さん2014/06/16(月) 05:17:48.68
>>179
数学史的にはデデキント以前の代数系は「環の一階理論」に近い形で捉えられてたんだけどね。
あなたの言葉を借りれば、純代数的に。あるいは記号的に。
ガウスの合同算だって、イデアルのような二階論理の言葉を介したわけではなく一階に納まる範囲で定義してある。
01901812014/06/16(月) 09:26:52.42
>>185
気持ちは、漠然とわかるような気もするんだが、
そもそも定義されてない式を、どうやって証明
するのかと。
0191１３２人目の素数さん2014/06/16(月) 22:43:18.49
>>183

何が重複してるんだ？
0192１３２人目の素数さん2014/06/16(月) 23:15:42.94
同じようなスレが
じゃないかね。
0193１３２人目の素数さん2014/07/04(金) 20:20:31.36
裏の裏は表、敵の敵は味方、と（地政学的）四色問題を使った証明を考えてる。
0194１３２人目の素数さん2014/09/08(月) 18:06:18.42
y=-xのグラフを見れば
x=-1のときy=1になることがわかる
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