>>422 のつづき．
d[（内接球の表面積）／（正多角錐の表面積）]/dh=
{(4 (r√[h^2+r^2] + h^2 + r^2) - 3 h＾2} h r π
/ (2√[h^2+r^2])) / (n tan(π/n)) / (r+√[h^2+r^2])^4 = 0
となるとき，つまり，h^4+8 h^2 r^2 + 16r^4=16 r^2 (h^2+r^2)，
すなわち，h=-2r√2, 0, 2r√2 のとき極値をとることから，
増減表を書けば，h=2r√2のとき与式が最大値をとることが分かる．
（↑めんどくせぇから書いてねぇけど）

「よって，題意の図形は，底面の内径をrとすれば，底面が
どんな正n角形（円）でも，高さが2r√2の正多角錐Vとなると言える．」
このとき，Vの底面積：Vの側面積：内接球Sの表面積 ＝
n r^2 tan(π/n) : 3 n r^2 tan(π/n) : 2π r^2 であり，>>412さんの解と一致する．
この美しさは，体積比でやっても上記と解が一致しそうな雰囲気ですなー