xy平面内で，曲線 y=K/(e^x) 上のある点(x', K/(e^x'))での
曲率半径を求める．まず，\v = d(x, y) = (dx, dy)^T
とすれば，0=-K/(e^x) dx - dy = (-K/(e^x), -1) \v より
\v' = (1, -K/(e^x')) c と書けて，\a = d\ｖ = d(dx, dy)^T
とすれば，0= \v^T diag[(K/(e^x), 0)] \v + (-K/(e^x), -1) \a と書ける．

ここで，物理の円軌道の半径r角速度ωで言う所の
rω=||\v||, rω^2=||\a||みたいなものであり，点(x', y' (= K/(e^x')) )での
曲率半径 \r' （〜 (\v^T \v) / (\a)） = (K/(e^x'), 1)^T (\v'^T \v') / (\v'^T diag[(K/(e^x'), 0)] \v')
= (K/(e^x'), 1)^T (K/(e^x') + (e^x')/K) と書けると思う．
曲率円の中心の軌跡は，x = x' + y'^2 + 1, y = 2 y' + 1/y'
の(x, y)で表される曲線上にある．

xy平面内で，曲線 y=K/(x^n) 上のある点(x', K/(x'^n))での
曲率半径を求める．まず，\v = d(x, y) = (dx, dy)^T
とすれば，0=-K/(x^n) dx - dy = (-n K/(x^(n+1)), -1) \v より
\v' = (1, -n K/(x'^(n+1))) c と書けて，\a = d\ｖ = d(dx, dy)^T
とすれば，0= \v^T diag[(n (n+1) K/(x^(n+2)), 0)] \v + (-n K/(x^(n+1)), -1) \a
と書ける．よって，点(x', y' (=K/(x'^n)) )での曲率半径 \r' （〜 (\v^T \v) / (\a)）
= (K/(e^x'), 1)^T (\v'^T \v') / (\v'^T diag[(n (n+1) K/(x'^(n+2)), 0)] \v')
= (n K/(x'^(n+1)), 1)^T ((x'^(n+2))/(n (n+1) K) + (n K x'^n)/(n+1) ) と書けると思う．
曲率円の中心の軌跡は，x = x' (n+2) / (n+1) + n^2 K^2 / ((n+1) x'),
y = x'^2 / (n (n+1) y') + (n K^2 / (n+1) + 1) y' の(x, y)で表される曲線上にある

かなぁー．これ計算ミスじゃないとすればまとめる気にはならんな…