例えば

f''(x) - f(x) = 0

という常微分方程式であれば

f(x) = Σ c_i x^i

を代入して x のベキに揃えると

Σ [ (i+2)(i+1) c_{i+2} - c_i ] x^i = 0

なので漸化式

(i+2)(i+1) c_{i+2} = c_i

が決まる。 c_0 と c_1 に適当な値を代入すれば
任意の n に関して c_n が定まり
常微分方程式の解 f(x) が定まる。

こういう手順で任意の常微分方程式の解は求まるのだろうか？