[(3)の回答]
以下、x^2-2x-1の2つの実数根をα,β(α＞β)とする。
y_n=(1/(2√2))(α^n-β^n) (n=0,1,2,..,)と表現できる。

(補題0)
s^2-2^t=1 を満たす正整数s,tの組は(s,t)=(3,3)に限る。
証明容易故省略

(補題1)
任意の整数n≧3に対して、y_nは2の巾ではない。

(証明)
ある整数n≧3に対して、y_n=2^kを満たす正整数kが取れたとする。
(x_n)^2-2(y_n)^2 = (-1)^n が成立していたので、
(これは(2)の結果です^^)
両辺を mod 4 でみることで nが偶数であることがわかる。
しかしながら y_n≧y_3=5であるから、
補題0とあわせて これは矛盾であるといえる。

(補題2)
どんな正整数mに対しても、(α^m+β^m)/2 は奇数となる。
また、m＞1 であるならば、1より大きいことがいえる。

そのまま分子を mod 4(意味に注意)でみることで これは簡単に示せる。