丁寧な説明は過去ログにもあったと思うので、軽く説明を。(軽くというには長くなってしまったが)
>>483は言語学的な意味での順序数、基数であって、
数学的な順序数、基数はそれを拡張した概念。

最小の順序数0があって、その次の数1があり、2、3、4、5、…と続く。
{0,1,2,3,…}のどの数よりも大きい数(のうち最小のもの)を考えて、ωと名付ける。
ωの次の数ω+1、その次の数ω+2、…と続けて、
{ω,ω+1,ω+2,…}よりも大きい数(もちろん{0,1,2,3,…}より大きい)をω+ω=ω×2と名付ける。
同様にω×3, ω×4, …を考え、それらよりも大きい数ω×ω=ω^2を考えて…、とやっていくことで大きな順序数が作れる。

この順序数を関数に対応付ける規則を考えると、巨大な順序数に対応する巨大な関数を作ることができる。
(関数の増加の速さを、関数の大きさとして考える)
巨大な関数の引数に、そこそこ大きな数(10とか100とか)を入れることで、巨大な数が作れる。

基数は個数に相当する概念で、集合の大きさを考えるのに用いる。
{0,1,2,3,…}という集合の大きさを考えると、いかなる自然数よりも大きいということで、この集合の大きさもωと書く。
ならばこの集合に一つ要素を足すと集合が大きくなるかというと、大きくはならない。
{0,1,2,3,…,ω}という集合を考えても、{0,1,2,3,…}の要素と一対一対応させることができて、同じ大きさとなる。
(例えば、ω⇔0、0⇔1、1⇔2、2⇔3、…)
なので、大きさがω+1になる集合を考えようとしても、その大きさはωとなってしまう。
だから、ωは基数だけど、ω+1は基数ではない。
一般に、全ての基数は順序数であるが、順序数は必ずしも基数ではない。
ωよりも大きな基数には、実数の集合に対応する基数などがある。

基数も順序数なのだから、巨大基数を用いて巨大な関数を作れないかと思うかもしれないが、それはできない。
巨大基数に対応するような関数を定義することが難しいからだ。
実際には、順序数の中でも関数との対応付けがうまく定義できる程度の大きさのもの(帰納的順序数)を中心に考える。
ωよりも大きな基数は、帰納的順序数ではないので関数にうまく対応させることができない。
このスレで帰納的順序数より大きな順序数の話が出てくることはあるが、
それは巨大な帰納的順序数を定義するのに用いているだけ。

結局は、帰納的でない巨大な順序数を用いて巨大な帰納的順序数を定義し、
巨大な帰納的順序数を用いて巨大な関数を定義し、巨大な関数を用いて巨大な数を定義するという流れになる。