>>282
整数の公理を満たす集合は同型を除いて一意に定まるから、
部分集合が公理を満たすなら整数と同型。
つまりモレが無い。

任意の正整数は1+1+....+1 の形であらわせる。
これはこのまま実数の1+1+....+1 に対応する。

0は整数であり実数でもある。
nが整数であり実数でもあれば、
n+1も整数であり実数でもある。
数学的帰納法によりすべての非負整数は実数である。

0は整数であり実数でもある。
正整数の空でない任意の部分集合には最小元が存在する。
実数ではない正整数が存在すると仮定し、その最小元をaとする。
この時a-1は0であるかaより小さい。つまりa-1は実数である。
任意の実数に1を加えたものは実数なので、(a-1)+1=aも実数である。
これはaの条件に矛盾する。