東北大学大学院理学研究科数学専攻 Ｈ １４年度 入試問題

大問２
単項イデアル整域Ａ、その商体K、Kに含まれる部分環BでB⊇Ａである。

（１）
Ｘの単項イデアル（Ｘ）、Ｙの単項イデアル（Ｘ）は互いに素なので、
Ｘの単項イデアル（Ｘ）、Ｙの単項イデアル（Ｘ）の和は、Ａに等しい。
（ここらへんは詳しく書いた方がヨイカ）
単項イデアル整域Ａの単位元１は、
１＝aｘ＋ｂｙ と、Ａの元a、ｂを用いて表される。
で、
　１／ｘ＝（aｘ＋ｂｙ）／ｘ＝ｂ（ｙ／ｘ）　＋　a　。
このようになり、　（ｙ／ｘ）は、環Ｂの元より、
１／ｘ　も、Ｂの元　。