>>732
反例を一つ。

F(x,y,z)=x+y+z=0のとき、

∂F/∂x=1
∂F/∂y=1
∂F/∂z=1

このときの偏微分係数はx+y+z=0とは無関係ってのはわかるよね？
あくまで、F(x,y,z)=x+y+z とみているだけ。

やれやれ。