>>582
意義と言われたも困っちゃうんだけど、例えば図形でどんな意味を持つのか考えてみよう。
まずy=x^2のグラフを考える（ノートに書いてみな）。
この場合はy=f(x)=x^2, F(x,y)=x^2-y とすると
(1)F(x,f(x))=0
が恒等的に成立している。
この曲線の傾きはy'=2xとなるのは中学生の時に勉強したと思うが、
(1)をxで微分すると2x-∂y/∂x=0, すなわち∂y/∂x =2xでグラフの傾きが求まる。
だからベクトル(1,∂y/∂x)=(1,2x)がグラフに接している。

次にx^2=yの場合も同様に考えると
y=f(x)=x^(1/2), F(x,y)=x-y^2=0として 1-2y(∂y/∂x)=0, すなわち∂y/∂x=1/(2y)
これもy=x^(1/2)の傾きになることは計算すれば分かる。
よってベクトル(1,∂y/∂x)=(1,1/(2y))がグラフに接している。

さらに
z=f(x,y), F(x,y,f(x,y))=0が恒等的に成立している状況を考えると(例えば>>563)
ベクトル(1,0,∂z/∂x)と(0,1,∂ｚ/∂y)が張る線形空間がz=f(x,y)の
その点で接する2次元平面（これを接空間という）と一致する。

あー疲れた。