F(x,y,f(x,y))は
F(x,y,f(x,y)) = Σ[k=1, l]a(k)*G(k, x) + Σ[k=1, m]b(k)*H(k, y) + Σ[k=1, n]c(k)*I(k, x, y)
とおけるから、F(x,y,f(x,y))=0が恒等的に0となるという事は
a(k) = 0, (k>=1, k<=l)
b(k) = 0, (k>=1, k<=m)
c(k) = 0, (k>=1, k<=n)
となるわけで、全て係数が0の関数を微分する事にあまり意味がない。
という事で変な問題である。