領域Dにおいて次の条件を満たす正則関数f(z)は定数である。
・絶対値|f(z)|が定数

証明
f(z) = u(x,y) + iv(x,y)とすれば、
|f(z)|^2 = u^2 + v^2 が定数です。
もし、u^2 + v^2 = 0 となる点があればD全体で0です。
したがって、uもvも恒等的に0となりf(z)は定数0です。
したがって、u^2 + v^2 ≠ 0 の場合を考えましょう。
定数であるu^2 + v^2をx及びyで微分します。すると
u･∂u/∂x + v･∂v/∂x = 0
u･∂u/∂y + v･∂v/∂y = 0
となります。

…と書いてあるのですが、
「定数であるu^2 + v^2をx及びyで微分」する方法が分かりません。
まず、xで微分する方法だけ考えましょう。
u^2 = u * u
と考えて、積のf'(z)g(z) + f(z)g'(z)かと思ったのですが
それなら、2{u･∂u/∂x}になりませんか？
どうやって計算しているのか教えてください。お願いします。