大学一年の積分の問題（レポート課題なので教科書ではありません）なのですが、

レムニスケート（連珠形）(x^2+y^2)^2 = a^2(x^2-y^2)^2
の全長Lの長さを求めろという問題が解けません。

対称性を求め、極座標表示(r^2=a^2cos2θ)に直し、
第一象限のみを求めると

L/4=√{r^2+(dr/dθ)^2}dθ
r^2=a^2cos2θをθで微分
dr/dθ=(4a^2sin2θ/2r)
L/4にあてはめて、rを消して、色々していくと、

=√2a∫(0→π/4) 1/(√cos2θ)dθ

までは求められたのですが、ここから積分が消えません。
色々な方法を試しましたが、最終的には循環してしまって汗
図書館でレムニスケートで索引して様々な本を見ましたが、
面積を求めるものか、周率で、曲線の長さはもとまりませんでした。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%83%8B%E3%82%B9%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%83%88
ウィキペディアに楕円積分によって求められると書いてありましたが、
そのようなものは習っていないし、答えも綺麗に求められていないので、
これではないと、思ったのですが・・・。よろしくおねがいします。