n^2と2n+1は互いに素であることを証明せよって問題なんですが

解答にはn^2と2n+1の最大公約数をｇとして
n^2=Ag 2n+1=Bg
このとき
4n^2-(2n+1)(2n-1)=4Ag-(2n-1)Bg={4A-(2n-1)B}g
4A-(2n-1)Bは整数だから4n^2-(2n+1)(2n-1)は整数である
4n^2-(2n+1)(2n-1)=1 だからｇは１の約数である
g=1なので題意は証明された

と書いてあるのですがなぜ4n^2-(2n+1)(2n-1)をもってこないといけないのでしょうか
教えてください