全微分と偏微分の違いについてお聞きしたいのですが、
例えば
y(x) = x^2
S(x, y) = x^3 * y(x)
というような場合、
Sのxに関する偏微分は
∂S/∂x = 3 x^2 * y(x)
となり、
Sのxに関する全微分は、ds = ∂S/∂x dx + ∂S/∂y dy から、
dS/dx = ∂S/∂x + ∂S/∂y dy/dx
　　　　 = 3 x^2 * y + x^3 * 2 x
　　　　 = 3 x^2 * y + 2 x^4
　　　　 = 3 x^4 + 2 x^4
　　　　 = 5 x^4
となり、
S = x^3 * y(x) = x^5
を単にxで微分した場合と同じになります。
このような議論は正しいのでしょうか？
正しいとすると、 y の必要性がよく分かりません。
単純に y にその中身を代入して、微分してしまえばいいような気がしますが。。。
なにか間違っている点があったら教えていただきたいです。