>>223
S(n)＝Σ[k=1,n](3k+1)4^(k-1)
だと思って解いてみる。
n=1,2,3 に対してS(n)=4, 2・4^2, 3・4^3
となる事から S(n)=n・4^n なのではとの予測をたてることができる。※
n・4^n + (3(n+1)+1)4^(n+1-1) ＝ (n+1)・4^(n+1)
なので帰納法で予測が正しいと結論できる(答案的にはもっとちゃんと書いてくれ)

※そんな予測なんてできねーよ！って場合は
　　　　　T(n,a)＝Σ[k=1,n]4^{a(k-1)}　　　　　　＝{4^(an) - 1}/(4^a - 1)
(∂/∂a)T(n,a)＝Σ[k=1,n]ln4・(k-1)・4^{a(k-1)}＝（省略）
a=1 を代入して
S(n)＝T(n,1)×4 ＋(∂/∂a)T(n,a=1)×3/ln4 ＝...＝n・4^n
手間がかかるけど確実に捻り出すことができる。
そしらぬ顔して n・4^n を勘で思いついたように書いた方が高校テスト的には安全かもしれない。

参考：(∂/∂a)4^{a(k-1)}=(∂/∂a)(e^ln4)^{a(k-1)}
　　　　＝(∂/∂a)e^{a・ln4・(k-1)}＝ln4・(k-1)e^{a・ln4・(k-1)}＝ln4・(k-1)4^{a(k-1)}