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高校生のための数学の質問スレPART266

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0001１３２人目の素数さんNGNG?S★(526072)
まず>>1-3をよく読んでね

前スレ
高校生のための数学の質問スレPART264
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1274103123/

数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
　　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
　　（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。

・マルチ（マルチポスト）は放置されます。
0153１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 16:27:31
>>149
おｋ
∬を使ったなら×かもしれんから、積分二回にわけたほうがいい
0154１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 16:31:51
やった！ｗｗまさかあってるとは思いませんでした。

ただ、なぜ∬ではいけないのでしょうか？
0155１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 16:36:10
高校で二重積分習わないもん
0156１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 16:46:55
なるほど…了解です。
ついでにほかの問題もよろしくお願いします。答えがないので･･･

1．∫ x/(x^2-2*x+1) dx を不定積分せよ。
自分の答えは、log｜x-1｜-1/(x-1)になりました。

2.log√(x^2+y^2) - arcTan(x/y) = 1 について、dy/dxを求めよ。
自分の答えは、(y-x)/(x+y)になりました。

よろしくお願いします。
0157１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 17:04:16
ただの置換積分
0158１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 17:26:59
隣接三項間漸化式
C[n+2]=C[n+1]+C[n]+1
の一般項の出し方を教えてください。
0159１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 17:37:49
初項はないの？階差を考える
0160１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 17:53:02
>>158
C[n+2]=C[n+1]+C[n]+1
(C[n+2]+1)=(C[n+1]+1)+(C[n]+1)
より
F[n]=C[n]+1 と置けば
F[n+2]=F[n+1]+F[n]
つまりフィボナッチ数列の漸化式に帰着する。

x^(n+2)=x^(n+1)+x^(n) のゼロ以外の解
即ち x^2=x+1 の２解 α=(1+√5)/2、 β=(1-√5)/2 を用いて
C[n] ＝ F[n] - 1 ＝ A・α^n + B・β^n - 1
と表せばこれが漸化式を満たすのは明らか。(係数A,B は C[1],C[2] の値に応じて定まる)

フィボナッチ数列の一般式って高校の学習範囲内なのだろうか・・・
0161１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 17:53:20
f(x)、g(x)はある関数を表す、ｆ(x)=g(x)・(x-π/2)^2で、g(0)=0 、g(π)=π、g(π/2)=-π/2
であるとき、f(x)の最低次の関数を求める問題なのですが、解答欄には、g(x)が2次だと
どうやってわかったのですか？
問題の解答には、「g(0)=0 、g(π)=π、g(π/2)=-π/2から、g(x)が2次としてよい」としかありません
0162１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 18:12:11
>>160
範囲内。東大でも出てる。
0163１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 18:21:02
>>161
一次関数の係数をどのように工夫しても　g(0)=0 、g(π)=π、g(π/2)=-π/2　を満たさない。
0164１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 18:40:36
>>152
平面z=0,4
ああ、これ２枚あんのね
0165１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 19:45:17
>>162
ええ、俺は習わなかったよ？
その代わりで三項間漸化式の練習だと思って
自分で導いたことはある（という人も多いだろう）
期待していたほどきれいな式にならなくてガッカリだったが
0166１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 19:48:38
「フィボナッチ数列」と言う言葉は習わなくても
高校生の教科書知識で解ける。

そのバックボーンに「フィボナッチ数列」があるだけ。
0167１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 19:59:12
二項間漸化式が範囲内なら、フィボナッチ数列もその中に含まれるだろ…。
0168１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 20:02:56
三項間漸化式ってセンターの範囲でないの
0169１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 20:06:25
単純な計算なんですが
度忘れしてしまいました
助けてください

確率1/1000の物を立て続けに当てる場合の確率は
1000の2乗であってますか？
0170１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 20:07:24
>>169
> 確率1/1000の物を立て続けに当てる場合の確率は
> 1000の2乗であってますか？

1越えとるやん
0171１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 20:07:49
1000の2乗分の１
0172１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 20:09:07
数Aの確率の定義を行ってご覧。
0173１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 20:11:52
>>171
それが何？
01741692010/06/13(日) 20:13:42
ありがとうございました
0175１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 20:14:36
>>169の答えだろ…ｊｋ

0176１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 20:15:37
安価つけろカス
0177１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 20:18:57
みんな自分のことだと思ってくれていると考えている池沼
0178１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 20:22:04
数十秒レスが遅れるだけ、普通にわかることにいちいちいちゃもんつけるチンカスども
0179１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 20:23:28
ここまで俺の自演
0180１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 20:27:07
ここから一部俺の自演
0181１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 20:40:55
チンカスからイチャモンつけられる存在はチンカス未満であることは自明ｗｗ
0182１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 21:00:43
行列の固有値が全て0のとき
行列の対角成分の総和は0に、行列式の値も0になることを示せ。

という問題ですが、2次の行列の場合には2次方程式の解の公式から
証明できると思うんですが、一般のn次の行列の場合どうすればいいでしょうか？
特に5次以上になると解の公式が存在しないらしいですから証明できるでしょうか。
0183１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 21:07:12
固有ベクトルx≠0に対して
Ax=0
となるから、Aは逆行列を持たない
よって、行列式は0

固有ベクトルx[1],…,x[n]≠0に対して

Ax[1]=0
Ax[2]=0
…
Ax[n]=0

となるから、trA=0
0184１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 21:37:24
後半の飛躍が
0185１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 21:49:33
平面において、「一次独立」なる言葉がありますが、
空間において、a↑、b↑、c↑がお互いに、どれをとっても「平行ではない」とき、この状態を、なんというのでしょうか？
＝＝＝
関連して、「一次独立」と「線型独立」とは、同じ意味ですか？
（wikipediaで、「一次独立」を調べたら、「線型独立」のページに飛ばされたので）
01861822010/06/13(日) 21:52:08
>>183
素早いレスありがとうございます。
行列式の値が0となることは納得して理解できました。
固有方程式にλ=0を代入するだけでいいのですね。

でも行列の跡が0になるところがよくわかりません・・・。
浅学非才ですみません。
0187１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 22:49:47
X=acos(t+m),Y=acos(t+n)において定数mと定数nの差がある値だと,媒介変数
tを消去してYとXの関係が求めれるんだが、差がπ/2,0,πのときは直線円になる
ことが分かってる。ならば差がπ/4のときどんな図形になりますか？m-n=π/4
とすると僕の予想では楕円になるんですが・・計算が複雑になって何回やっても
なりません。差が3/4πまたは1/4πのときどうなりますか？計算過程お願いします
0188１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 22:56:53
奇数を三倍して１を足す。
その値を２で奇数になるまで割って、また３倍して・・・
を繰り返すと１になる。

これを証明せよ。って友達に出されたのですが。
0189１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 22:58:34
>>186
行列Aのトレースとは、Aの固有方程式の　n-1　次　の係数（の　-1倍）。
n次方程式の解と係数の関係から、固有値（固有方程式の解）が全て0なら　トレースは0。
トレースは全ての固有値（重解は重なった分を重複して）の和。

0190１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 23:00:13
>>188
必ずそうなるかどうかも含めて未解決。
0191１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 23:10:18
掃き出し法で逆行列を求めよって問題で、いったい何が計れるというのか。
大学生にもなってこんな百ます計算みたいなもん演習でやらせないでよね。
だいたい、九九も覚えてない、3桁以上の数の大小比較すらできない俺にこんな計算できるわけないでしょ。
0192１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 23:14:03
>>191
帰れ
0193１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 23:14:05
>>187
>計算が複雑になって何回やってもなりません
とりあえず計算したとこまで書いて
0194１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 23:17:19
それは大学生として残念至極なことだ。
掃き出し法を理解できるまで、物作りにはたずさわらないで欲しい。
これは皆の願いだよ。
職人になって腕を振るうならその限りではないけどね。
0195１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 23:20:34
>>194
計算なんぞWolframにでもやらせればいい。
行列の基本変形の数学的な性質は理解してるからいい。
0196１９１2010/06/13(日) 23:21:19
>>195
お前誰だよ
0197１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 23:24:07
ここまで俺の自演
0198１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 23:24:37
>>193
さすがに全式書くのはしんどいです。レス代行何で長く書けません。
お願いだから計算してください。
0199１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 23:33:08
>>187
リサージュ図形で調べた方が早いと思うよ
02001822010/06/13(日) 23:36:31
>>189
固有方程式のn-1次の係数を-1倍したものがトレースなんですね。
2次の場合についてはλ^2 -(tr A)λ +det A = 0となるので
もしかしたら・・・と思ってはいましたが。
それで、2次の場合ですとλ^2の項以外は0にならないといけないから
tr A = 0が条件となるわけですね。

どうもありがとうございました。
トレースがn-1次の項の係数になる理由については自分で調べてみます。
0201１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 23:39:25
>>198
たった数行で終わる式もかけないのか？
Y = acos(t+n)
X = (a/√2) Y - (a/√2) asin(t+n)

sin^2(t+n) + cos^2(t+n) = 1
0202teisei2010/06/13(日) 23:41:37
X = (a/√2) Y - (a/√2) sin(t+n)
0203１３２人目の素数さん2010/06/13(日) 23:43:03
>>187
パラメータをt-θとt+θに代えるとラクだよ

X/a=cos(t-θ)=Acos(t)+Bsin(t)
Y/a=cos(t+θ)=Acos(t)-Bsin(t)

（但しA=cosθ，B=sinθ）より

(X+Y)/a=2Acos(t)
(X-Y)/a=2Bsin(t)
0204１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 01:04:37
すいません
楕円になるときは位相差はもしかしてπ/6とかπ/3でしょうか？
とにかく課題なんです。計算過程も含めやらないと。明日まで
なんで計算お願いします。
0205１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 01:22:20
出し惜しみしないで問題全部かけよ
aが変われば変わるだろ
計算過程もくそも201の式で突っ込めばパラメータ消せるだろカス
0206１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 02:31:18
>>200
解と係数の関係って書いてあるじゃん
0207１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 02:58:41
>>204
基本的に正方形の対角線を軸とし正方形に内接する楕円。
つぶれた時は直線、まん丸なら円。
>>203をみればx=a*Acos(t),y=a*Bsin(t)を135°回転し√2倍した図形とわかる。n-m=2θ
0208１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 07:31:41
>>207
ちょっと違ってた。
X=a*Acos(t)+a*Bsin(t)=a*Acos(-t)-a*Bsin(-t)
Y=a*Acos(t)-a*Bsin(t)=a*Acos(-t)+a*Bsin(-t)
x=a*Acos(-t),y=a*Bsin(-t)を45°回転し√2倍した図形とわかる。n-m=2θ 。
AB=0のとき線分。|A|=|B|のとき円。それ以外のとき楕円。
0209１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 11:13:51
>>90
ユークリッドの互除法は知らないけど、
それと似た問題を自力で解いたことがあります。

大きな木と小さな木を眺めていたら、解けた。

最小公約数というのは、いってみれば、その二つの数の共通因子。
つまり、大きな木と小さな木は、どちらも「同じ長さの木」の集まりだと考える。
最小公約数とは、つまり両方の数値を構成する部品。最小単位。

そう考えるとわかるんじゃないかな。

足しても引いても、その答えは最小単位の部品が何個分、で表せるからね。
0210１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 11:14:45
↑
最大公約数の間違え。
0211１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 14:27:56
行列のスペクトル分解ってなんすかwwwwwwwwwwwww
0212１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 16:35:38
佐武一えろの線型代数学うぇおよえｍ
0213１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 16:53:16
∃s∈C に対して ζ(s) が存在するならば
ζ(s) = Σ[n=1,∞](1/n)^s = Π[p:素数](1-p^(-s))^(-1)
を示してください
0214１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 16:54:29
>>213
それ、リーマン予想っていう数論の未解決問題だから
解けたらクレイ研究所から賞金100万ドルもらえるよ
0215１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 16:56:48
>>214
>>214
>>214
>>214
0216１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 16:56:54
>>214
え、俺解けたんだけど
怖いから載せるのやめとくわ…
0217１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 16:58:02
>>214
アホ丸出し
0218１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 16:58:39
>>213
s=0 のとき Σ[n=1,∞](1/n)^s は発散するからその命題は偽
0219１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 16:59:47
>>218
>>218
>>218
>>218
>>218
0220１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 17:00:57
>>218
なんでs=0で発散すると偽なの
0221１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 17:02:26
>>220
中辺は無限級数だけど右辺は有限だから、中が発散したら絶対に等号は不成立
0222１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 17:04:03
>>214,>>218,>>220
お前ら恥ずかしいからもう書き込むな
0223１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 20:28:36
Σ[k=1,n](3n+1)4^(n-1)

解説お願いします
0224１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 20:36:59
>>223
怒らないから正しく書き直しなさい。
0225１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 20:43:37
limx^x
x→+0　　

お願いします！
0226１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 20:45:18
>>225
1
0227１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 21:31:45
>>223
S(n)＝Σ[k=1,n](3k+1)4^(k-1)
だと思って解いてみる。
n=1,2,3 に対してS(n)=4, 2・4^2, 3・4^3
となる事から S(n)=n・4^n なのではとの予測をたてることができる。※
n・4^n + (3(n+1)+1)4^(n+1-1) ＝ (n+1)・4^(n+1)
なので帰納法で予測が正しいと結論できる(答案的にはもっとちゃんと書いてくれ)

※そんな予測なんてできねーよ！って場合は
　　　　　T(n,a)＝Σ[k=1,n]4^{a(k-1)}　　　　　　＝{4^(an) - 1}/(4^a - 1)
(∂/∂a)T(n,a)＝Σ[k=1,n]ln4・(k-1)・4^{a(k-1)}＝（省略）
a=1 を代入して
S(n)＝T(n,1)×4 ＋(∂/∂a)T(n,a=1)×3/ln4 ＝...＝n・4^n
手間がかかるけど確実に捻り出すことができる。
そしらぬ顔して n・4^n を勘で思いついたように書いた方が高校テスト的には安全かもしれない。

参考：(∂/∂a)4^{a(k-1)}=(∂/∂a)(e^ln4)^{a(k-1)}
　　　　＝(∂/∂a)e^{a・ln4・(k-1)}＝ln4・(k-1)e^{a・ln4・(k-1)}＝ln4・(k-1)4^{a(k-1)}
0228１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 22:20:15
・xの関数u,vの第２次導関数が存在するとき、次を示せ
(nv)''=u''v+2u'v'+nv''

・aが定数のとき、次を示せ
d/dx log{x+√(x^2+a)}=1/√(x^2+a)

お願いします
0229１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 22:24:08
>>227
間違えてました
Σ[k=1,n](3k+1)4^(k-1)でした

解説お願いします
0230１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 22:27:38
>>229
>>227は解説なんだが
0231１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 22:41:21
>>229
S=Σ[k=1,n](3k+1)4^(k-1)とおいて
4S-Sを計算。
4Sのk-1番目の項とSのk番目の項に注目する。
0232１３２人目の素数さん2010/06/14(月) 23:36:37
>>228
訂正

二つ目はd/dx*log{x+√(x^2+a)}=1/√(x^2+a)を示せ、です
よろしくお願いします
0233１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 00:06:14
>>228,232
教科書読めばわかるような基本的な問題
数Ⅲの教科書で積の微分と合成関数の微分の項目を読み
それでもわからなかったら何がわからないか具体的に書くこと

そして書き込む前にまず>>1-3を読め
02342282010/06/15(火) 00:46:36
>>233
申し訳ないです
自力で解けました
0235１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 06:09:41
両辺を二乗して・・・
っていう記述をよく見かけるんですけど、
二乗した式って元の式と同じ情報価値を持ってるんですか？
二乗すると価値が減ってそうな気がするんですけど・・・

初歩的な質問ですみません。
0236１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 06:54:12
>>235
情報価値？の増減は
情報工学板で聞いてくれ、ここは数学板だ
0237１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 07:17:05
>>235
A=B ⇒ A^2=B^2は正しいが、逆は必ずしも成り立たない。
0238１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 08:26:47
>>236
高校数学の話のつもりだったのですが・・・

>>237
A=B (A,B>0) ⇔ A^2=B^2 (A,B>0)
は正しいですか？

二乗するという操作を用いてその方程式を解くような場合は
全ての項が正であることを確かめてから二乗すれば問題ないですか？
0239１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 08:32:44
変な用語を無定義で使うから突っ込まれるの。
質問は要点を過不足なく簡潔に書きなさい。
0240１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 09:20:22
>>238
すべての項が正じゃなかったらそもそも等号は成り立たねーだろ馬鹿
0241１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 09:26:48
>>238
A^2=B^2 ⇔ A=BまたはA=-B だから、A≠-B が保証されていれば A^2=B^2 が A=B の代用になる。
0242１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 10:39:26
>>241
わかりやすい説明ありがとうございます。
A=B ⇔ A^2=B^2 ∧ A≠-B
つまり、A,Bの符号が分かってれば同値変形で、
符号が分からないときは同値では無い変形である
という理解であってますか？
0243１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 10:47:20
>>242　くどいね
0244１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 11:08:35
>>243
いや、同値変形が基本の高校数学で、一番分かりにくいところだよ
ちゃんと疑問視している>>235は偉い
イコールじゃなくて不等式だとさらにややこしくなる
0245１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 12:47:28
>>241で済んだ。掘り返すな。もしかして自画自賛か。
0246１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 14:09:00
本人が再確認しようとして質問してるのに、済んだってｗ
0247１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 14:22:27
本人だからしつこがられてんのがわからんのか、このバカは
0248１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 14:24:05
ですよねー
0249１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 14:24:11
どっちかっていうと>>241の自画自賛に見える。
質問者を納得させることが出来なかったのに……
0250１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 14:26:24
納得しない質問者が悪い（キリッ
wwww
0251１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 14:26:55
>>244
一番分かりにくいところなのに、さらに上があるのか？
一番てなんなの？ｗｗ
0252１３２人目の素数さん2010/06/15(火) 14:28:05
はい終わり、次
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