f(x) = (√a x + b / 2√a)^2 - b^2 / 4a + c = (√a x + α)^2 + β
なので、β ≠ 0 としたら、f(n) が平方数とならないようなαをとって
くることが可能である。
従って、β = 0。
次に、任意の自然数n に対し、f(n) は (√a n + α)^2 となるので、
これの平方根は√a n + α だが、これが任意のn で整数となるには、
√a も α も整数でないといけない。
故に、f(x) = (k x + m)^2 = g(x)^2 である。

適当になったけど、こんな感じかなぁ。