>>614
A[n]={na_[1]+(n-1)a_[2]+...+a_[n]}/n^2　-α/2
={na_[1]+(n-1)a_[2]+...+a_[n]}/n^2　-αn^2/(2n^2)
={na_[1]+(n-1)a_[2]+...+a_[n]}/n^2　　-α{n(n-1)-n}/(2n^2)
={2na_[1]+2(n-1)a_[2]+...+2a_[n]}/(2n^2)　　-α{2(n+(n-1)+(n-2)+...+2+1)-n}/(2n^2)
={2n(a_[1]-α)+2(n-1)(a_[2]-α)+...+2(a_[n]-α)}/(2n^2)　　-α(-n)/(2n^2)
={2n({a_[1]-α)+2(n-1)(a_[2]-α)+...+2(a_[n]-α)+nα}/(2n^2)
=Σ[k=1,n]{　(n-k+1)(a_[k]-α)/n^2　} + α/(2n)

∀ε＞0 ,∃N_0, ∃N {
　N＞N0 ,
　n＞N　 ⇒ {
　　|a_[k≦N0]-α|＜M (有界),　|a_[k＞N_0]-α|＜ε/2 (収束性),
　　|Σ[k=1,N0]{(n-k+1)(a_[k]-α)/n^2}| ≦ Σ[k=1,N0]M/n ＜ε/2 ,
　　|Σ[k=N0+1,n]{(n-k+1)(a_[k]-α)/n^2}| ≦ Σ[k=N0+1,n]|a_[k]-α|/n ＜ε/2
　}
}
∴
∀ε＞0 ,∃N {
　n＞N ⇒ |A[n]|＝|Σ[k=1,n]{(n-k+1)(a_[k]-α)/n^2}| ＜ε
}
よって
lim[n→∞]{na_[1]+(n-1)a_[2]+...+a_[n]}/n^2 ＝lim[n→∞]{A[n] + α/2} ＝ α/2