問題：Rとその任意の開区間とは順序同型であることを示せ。

任意の実数a,bをとり、ｃ＝(a+b)/2とおき、
ｆ(x)＝（x-c）/｛(x-a)(b-x)｝　とｆを定義して

ｆが（a,b）→Rで順序単射ということは示せたのですが、全射になるということがうまく示せません。
任意の実数ｙをとり、ｆ（ｘ）＝ｙとなるｘが必ず（a,b）の範囲内に収まる、という風に証明しようとしたのですが計算式の組み立て方が下手なのか、手法自体が間違っているのか、何時間やっても解けません。
どのようにやるのかをできれば途中式も入れながら教えていただけると幸いです。