「全ての実数aについて、sup{r∈Q:r<a}=aであることを示せ。」
この問題の答えが

「任意の自然数nに対して、a-1/n<r_[n]<aとなる有理数r_[n]がある。このとき、a=sup{r_[n]∈Q:n=1,2,3,…}である。
一方、α=sup{r∈Q:r<a}とおくとα≦aでr_[n]∈{r∈Q:r<a}が成り立つ。ゆえに、a=sup{r_[n]∈Q:n=1,2,3,…}≦α≦a.
よって、α=a.」


となっているのですが、「ゆえに」以下がわからないのですが…
αはaより小さい有理数（の集合）の上限だからα≦aにはなってもa<αにはならないんじゃ？