命題
FinAb を有限アーベル群全体の圏とする。
Set を集合の圏とする。
U：FinAb → Set を忘却関手と
即ち、U は各 X ∈ FinAb に X の台集合を対応させるものである。
(FinAb, U) は具象圏(>>794)である。

このとき、任意の S ∈ Set に対して (FinAb, U) は S 上の自由対象を持たない。

証明
G を FinAb の対象とし u：S → |G| を普遍射(過去スレ019の861)とする。
u(S) = {x_1、．．．、x_n} とし、各 x_i の位数を m_i とする。
p を各 m_i を割らない素数とする。
H を位数 p の巡回群とする。
h：S → |H| を S の各元に H の生成元 a を対応させる写像とする。
u は普遍射だから射 f：G → H で h = fu となるものが存在する。
S の任意の元 s に対して a = f(u(s)) である。
u(s) = x_i とする。
(m_i)a = (m_i)f(x_i) = f(m_ix_i) = f(0) = 0
a の位数は p だから m_i は p で割れる。
これは矛盾である。
証明終