命題
(C, U) を圏 A 上の準具象圏(過去スレ019の794)で自由対象を持つ(>>5)とする。
E を U(f) が引き込み(過去スレ018の328)であるような射 f の全体とする。
このとき次の条件は同値である。

(1) P は E-射影的対象(>>61)である。

(2) P は自由対象(>>3)のレトラクト(過去スレ018の328)である。

証明
(1) ⇒ (2)
(C, U) は自由対象を持つから普遍射(過去スレ019の861) u：|P| → |X| が存在する。
よって e：X → P で |e||u| = 1_|P| となるものが一意に存在する。
よって、e は E-射である。
P は E-射影的であるから f：P → X で ef = 1_P となるものがある。
よって、P は自由対象 X のレトラクトである。

(2) ⇒ (1)
S を A-対象とし、u：S → |X| を普遍射とする。
>>67より X が E-射影的であることを証明すればよい。
e：Y → Z を E-射で f：X → Z を C-射とする。
>>68より S は U(E)-射影的であるから
次の図式が可換になるような A-射 k：S → |Y| がある。

S　　→ |X|
↓　　　↓
|Y|　→ |Z|

u：S → |X| は普遍射だから g：X → Y で |g|u = k となるものが存在する。
|f|u = |e|k= |e||g|u
よって、f = eg である。よって X は E-射影的である。
証明終