補題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F：C → D、G：D → C を関手とし、(F, G) は随伴状況(過去スレ019の362)であるとする。
U を C の分離対象とする。

このとき G が忠実(過去スレ017の403)であれば F(U) は D の分離対象である。

証明
自然同型(過去スレ018の144) ψ：Hom(F(-), -) → Hom(-, G(-)) がある。
よって、関手 M → Hom(F(U), M) と関手 M → Hom(U, G(M)) は自然同型である。

一方、G は忠実で U は分離対象だから関手 M → Hom(U, G(M)) は忠実である。
よって、関手 M → Hom(F(U), M) も忠実である。
よって、 F(U) は D の分離対象である。
証明終