補題
D をアーベル圏 C の充満(過去スレ017の362)な反射的部分圏(過去スレ018の136)とする。
R：C → D を反射関手(過去スレ018の141)とする。
R は左完全(過去スレ019の659)であるとする。

このとき D はアーベル圏である。

証明
過去スレ019の370より R は左随伴関手である。
よって、過去スレ019の464の双対より R は余極限を保存する。
よって R は右完全(過去スレ019の660)である。
仮定より R は左完全であるから R は完全(過去スレ019の661)である。

>>483より D は前アーベル圏(過去スレ019の512)である。
よって D における任意の単射が D-射の核であり、
D における任意の全射が D-射の余核であることを証明すれば良い。

f：M → N を D における単射とする。
0 → M → N → T を C における完全列とする。
R は左完全であるから過去スレ019の669より 0 → R(M) → R(N) → R(T) は完全である。
一方、過去スレ018の139より X ∈ D のとき 1_X：X → X は D-反射であり、R(X) = X である。
よって 0 → M → N → R(T) は完全である。
よって f は N → R(T) の核である。

(続く)