命題
D を圏 C の充満(過去スレ017の362)な反射的部分圏(過去スレ018の136)とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とし F：I → D を図式(過去スレ017の833)とする。
F の極限(過去スレ018の839)が C において存在すれば F の極限は D においても存在する。

証明
(f_i：L → F(i))_I を C における F の極限とする。
r：L → L’を L の D-反射(過去スレ018の135)とする。
各 i に対して D-射 g_i：L’→ F(i) で f_i = (g_i)r となるものがある。
u：i → j を任意の I-射とする。
F(u)f_i = f_j であるから F(u)(g_i)r = (g_j)r
よって、F(u)(g_i) = g_j である。
よって、(g_i：L’→ F(i))_I は D における錐(過去スレ018の838)である。
よって、C-射 s：L’→ L で各 i に対して g_i = (f_i)s となるものがある。
f_i = (g_i)r = (f_i)sr
よって sr = 1_L
rs = 1_L’を証明しよう。

R：C → D を反射関手(過去スレ018の141)とする。
D は C の充満部分圏であるから過去スレ018の139より 1_L’は D-反射である。
よって次の図式は可換である。

　　ｒ
Ｌ　→　Ｌ’
↓ｒ　　↓１
Ｌ’→　Ｌ’
　　１

よって、R(r) = 1_L’である。

(続く)