補題
C を完備(過去スレ017の828)で冪良(>>375)なアーベル圏とする。
Mon を C の単部分圏(>>456)とする。
0 → M → X → N → 0 を C における完全列とする。
M, N ∈ Mon なら X ∈ Mon である。

証明
>>456のM3より Mon における単射 M → E で、
E は C における単射的対象となるものが存在する。
>>462より次の可換図式が得られる。

０　→　Ｍ　→　Ｘ　→　Ｎ　→　０
　　　　↓　　　↓　　　↓
０　→　Ｅ　→　Ｘ’→　Ｎ　→　０

ここで、下の列は完全であり、左の四角は押し出し(過去スレ017の867)である。
E は単射的だから>>31より E → X’は断面(過去スレ018の430)である。
よって X’= E ＋ N (直和)である。
よって、>>456のM1より X’∈ Mon である。
M → E は単射だから押し出し定理(過去スレ019の676)により X → X’は単射である。
よって、>>456のM2より X ∈ Mon である。
証明終