命題
C を完備(過去スレ017の828)で冪良(>>375)なアーベル圏とする。
C の充満部分圏(過去スレ017の362) Mon が>>456の条件 M1, M2 を満たすとする。
このとき Mon は C の反射的部分圏(過去スレ018の136)である。

証明
>>177より C は余冪良(過去スレ018の660)である。
よって、X の商対象の同型類全体は小さい濃度を持つ(>>373)。
特に X の商対象で Mon に属すものの同型類全体 S は小さい濃度を持つ。
(M_i)_I を Mon の対象からなる小さい族で S の各類を代表するものとする。
M を自明な射 X → ΠM_i の像とする。
条件 M1 から ΠM_i ∈ Mon である。
よって、条件 M2 より M ∈ Mon である。

M’∈ Mon とし、f：X → M’を C-射とする。
M”= Im(f) とする。
M2 より M”∈ Mon である。
M”は {M_i}_I に属すと仮定してよい。
M → M”を標準射 M → ΠM_i と射影 ΠM_i → M”の合成射とする。
M → M’を M → M”と標準射 M”→ M’の合成とする。

このとき次の図式は可換である。

X　→　X
↓　　↓
M　→　M’

この図式を可換にする射 M → M’の一意性は X → M が全射であることから明らかである。
証明終