命題
C をアーベル圏とする。
U を C の射影的対象(>>93)とする。
さらに C の任意の対象 X ≠ 0 に対して Hom(U, X) ≠ 0 となるとする。
このとき U は分離対象(過去スレ018の212)である。

証明
Ab をアーベル群の圏とする。
U は射影的であるから過去スレ019の770より Hom(U, -)：C → Ab は完全である。
f：X → Y を C-射で f ≠ 0 とする。
Im(f) ≠ 0 である。
仮定より Hom(U, Im(f)) ≠ 0 である。
Hom(U, -) は完全であるから過去スレ019の761より
Hom(U, Im(f)) = Im(Hom(U, f)) である。
よって、Hom(U, f) ≠ 0 である。
よって、Hom(U, -) は忠実(過去スレ017の403)である。
よって、U は分離対象である。
証明終