>>404の続き

(Y, u, f) と (Z, v, g) を Ω の元とする。
w：Y → Z で次の二つの図式を可換にするものがあるとき (Y, u, f) ≦ (Z, v, g) と書く。

　　１
Ｘ　→　Ｘ
↓ｕ　　↓ｖ
Ｙ　→　Ｚ
　　ｗ

　　T(w)
T(Y)　→　T(Z)
↓ｆ　　　↓ｇ
Ｍ　　→　Ｍ
　　　１

関係 (Y, u, f) ≦ (Z, v, g) は前順序関係(過去スレ008の139)である。
u：X → Y は本質的であるから w は単射である。
w’：Y → Z を w と同様の性質を持つ射とする。
f = gT(w) = gT(w’)
g は単射であるから T(w) = T(w’) である。
U は分離対象だから関手 T は忠実である。
よって、w = w’である。
よって w は (Y, u, f) と (Z, v, g) により一意に決まる。
よって、同時に逆向きの関係 (Z, v, g) ≦ (Y, u, f) が成り立つとき w は同型射となる。
このとき (Y, u, f) と (Z, v, g) は同値であると言う。
Ω のこの同値関係による商集合を Ω_0 とする。

(続く)