命題
Grothendieck圏(>>236)の任意の対象は単射包絡(>>92)を持つ。

証明(Mitchell)
C をGrothendieck圏とし、U をその分離対象(過去スレ018の212)とする。
R = Hom(U, U) とし、T：C → Mod-R を>>391で定義した関手とする。
X を C の任意の対象とする。
過去スレ019の798より Mod-R は十分多くの単射的対象を持つ(過去スレ019の796)。
よって単射的加群 M ∈ Mod-R と単射 T(X) → M がある。
三つ組み (Y, u, f) 全体を Ω とする。
ここで u：X → Y は本質的拡大(>>240)であり、
f：T(Y) → M は次の図式を可換にする射である。

　　T(u)
T(X)　→　T(Y)
↓　　　　↓f
Ｍ　　→　Ｍ
　　　１

>>399より T(u)：T(X) → T(Y) は本質的拡大であるから f は単射である。

(続く)