補題
C をAB5(>>121)を満たすアーベル圏とする。
X を C の対象とする。
(Y_i)_I を X の小さい有向部分対象族(>>332)とする。
Y を X の部分対象で各 i に対して Y_i は Y の本質的拡大(>>240)であるとする。
このとき ∪Y_i は Y の本質的拡大である。

証明
Z ≠ 0 を ∪Y_i の部分対象とする。
>>380の(3)より Z = ∪(Y_i ∩ Z) である。
よって Y_i ∩ Z ≠ 0 となる i ∈ I がある。
よって、Y ∩ Z = Y ∩ (Y_i ∩ Z) ≠ 0
よって、∪Y_i は Y の本質的拡大である。
証明終