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補題
S を全順序集合で次の条件を満たすとする。

(*) S の任意の空でない部分集合 M に対して sup M が存在する。

I を整列集合で |J| ＜ |I| とする。
ψ：I → J を全射かつ単調増加な写像とする。
即ち、i ≦ j のとき ψ(i) ≦ ψ(j) となる写像とする。

このとき、ある i_0 ∈ I があり i_0 ≦ i なら ψ(i_0) = ψ(i) となる。

証明
I の最小元を 0 と書く。
i ∈ I に対して i の直後の元を i + 1 と書くことにする。
即ち i + 1 = min{j： j ＞ i} である。

このような i_0 が存在しないと仮定して矛盾を導く。
任意の i ∈ I に対して ψ(i) ＜ ψ(i’) となる i’∈ I がある。

写像を f：I → J を以下のように帰納的に定義にする。
まず f(0) = ψ(0) とする。

k ＞ 0 とし i ＜ k となる全ての i に対して f(i) が定義されているとする。
このとき f(k) を次のように定義する。

(続く)