補題
C を積と零対象を持つ圏(過去スレ018の910と過去スレ017の791)とする。
(X_i)_I を C の対象からなる小さい族とする。
π_i：ΠX_i → X_i を射影とする。
F を I の任意の有限部分集合とし、v_F：Π(X_j； j ∈ F) → ΠX_i を標準射とする。
即ち、p_j：Π(X_j； j ∈ F) → X_i を射影とすると、
j ∈ F のとき (π_j)v_F = p_j
i ∈ I - F のとき (π_i)v_F = 0 である。

このとき v_F は単射である。

証明
f：T → Π(X_j； j ∈ F) と g：T → Π(X_j； j ∈ F) を
(v_F)f = (v_F)g となる射とする。
j ∈ F のとき (p_j)f = (π_j)(v_F)f = (π_j)(v_F)g = (p_j)g
よって、f = g
よって、v_F は単射である。
証明終