命題
C を積を持つ圏(過去スレ018の910)とする。
(f_i：X_i → Y_i)_I を C の単射からなる任意の小さい族とする。

このとき、標準射 ΠX_i → ΠY_i は単射である。

証明
直接に証明することも容易だが次のようにより一般的な立場から証明することも出来る。

I を任意の小さい集合とする。
I は離散グラフ(過去スレ017の745)と見なせる。
Diag(I, C) (過去スレ017の369)を C^I と書いた。
C^I の対象は I を添字集合とする C の対象からなる族 (X_i)_I である。
Π：C^I → C を (X_i)_I ∈ C^I に ΠX_i を対応される関手とする。
>>113の双対より Π は極限を保存(過去スレ019の303)する。
過去スレ019の297より Π は単射を保存する。
証明終