命題(Popescu(>>275))
C を余完備(過去スレ017の829)なアーベル圏とする。
このとき以下の条件は同値である。

(1) X を C の任意の対象とする。
　　X の任意の小さい有向部分対象族(>>332) (X_i)_I と X の任意の部分対象 Y に対して
　　(∪X_i) ∩ Y = ∪(X_i ∩ Y) となる。

(2) (X_i)_I を C の任意の小さい対象族とする。
　　X = ΣX_i とおく。
　　u_F：Σ(X_i； i ∈ F) → X を標準射とする。
　　X_F = Im(u_F) とおく。
　　このとき X の任意の部分対象 Y に対して Y = ∪(Y ∩ X_F) となる。
　　ここで右辺の F は I の全ての有限部分集合を動く。

証明
(1) ⇒ (2)
F を I の全ての有限部分集合を動かすとき X = ∪X_F となることに注意すればよい。

(続く)