補題
f：X → Y をアーベル圏における射とする。
Z ⊂ Y とする。

このとき、X/f^(-1)(Z) は f(X)/(f(X) ∩ Z) と標準的に同型である。

証明
次の図式は可換であり上下の列は可換である。
さらに左の四角は引き戻しである。

0　→　f^(-1)(Z)　→　X　→　X/f^(-1)(Z)　→　0
　　　　　↓　　　　　↓　　　　　↓u
0　→　f(X) ∩ Z　→　f(X) →　f(X)/(f(X) ∩ Z)　→　0

よって、>>310より u は単射である。
X → f(X) は全射であるから合成射 X → X/f^(-1)(Z) → f(X)/(f(X) ∩ Z) は全射である。
よって、u：X/f^(-1)(Z) → Y/Z は全射である。
過去スレ019の585より、アーベル圏は平衡的(過去スレ018の452)であるから
u は同型である。
証明終