命題
C を余完備(過去スレ017の829)なアーベル圏とする。
X を C の対象とする。
X の小さい有向部分対象族(>>332) (X_i)_I と X の任意の部分対象 Y に対して
(∪X_i) ∩ Y = ∪(X_i ∩ Y) となるとする。

このとき、∪X_i = colim X_i となる。

証明
m_i：X_i → X を標準射とする。
Z = colim X_i とおく。
u_i：X_i → Z を標準射とする。
f：Z → X を各 i に対して f(u_i) = m_i となる射とする。
>>334より f(Z) = ∪X_i である。
よって、f が単射であることを証明すれば良い。

K = Ker(f) とおく。
Z_i = u_i(X_i) とおく。
>>334より Z = ∪Z_i である。
よって、命題の仮定より
K = (∪Z_i) ∩ K = ∪(Z_i ∩ K)

K ≠ 0 とすると Z_i ∩ K ≠ 0 となる i がある。
f(u_i) = m_i であり m_i は単射であるから u_i は単射である。
よって、(u_i)^(-1)(K) = (u_i)^(-1)(Z_i ∩ K) ≠ 0 である。

一方、(u_i)^(-1)(K) = Ker(f(u_i)) = Ker(m_i) = 0
これは矛盾である。
証明終