命題
X をアーベル圏の対象とし、Z ⊂ X とする。
f：X → X/Z を標準射とし、U を X/Z の部分対象とする。
このとき、Z ⊂ f^(-1)(U) であり、f^(-1)(U)/Z は U に同型である。

証明
Y = f^(-1)(U) とおく。
次の図式は可換である。

Z　→ X
↓0　↓f
U → X/Z

よって、>>290より Z ⊂ Y である。
g：Y → U を f から誘導された射(>>250)とする。
>>273より f(Y) = U であるから g は全射である。
よって、Ker(g) = Z を証明すれば良い。
次の可換図式がある。

　　　　　　s　　　g
0 →　Z　→　Y　→ U　 → 0
　　　↓　　　↓m　　↓k
0 →　Z　→　X　→ X/Z → 0
　　　　　　t　　　f

u：T → Y を gu = 0 となる射とする。
kgu = fmu = 0
よって、r：T → Z で tr = mu となるものがある。
t = ms だから msr = mu
m は単射だから sr = u
よって、Ker(g) = Z である。
証明終