命題(第３同型定理)
X をアーベル圏の対象とし、Z ⊂ Y ⊂ X とする。
このとき、0 → Y/Z → X/Z → X/Y → 0 は完全である。
ここで、Y/Z → X/Z (>>318)と X/Z → X/Y (>>319) は標準射である。

証明
次の図式は可換であり、各縦列と１番目と２番目の横列は完全である。

　　　0　　　0
　　　↓　　↓
0 →　Z　→　Z → 0 → 0
　　　↓　　↓　　↓
0 →　Y　→　X　→ X/Y → 0
　　　↓　　↓　　↓
0 → Y/Z → X/Z → X/Y → 0
　　　↓　　↓　　↓
　　　0　　　0　　0

よって、３×３の補題(>>316)より、0 → Y/Z → X/Z → X/Y → 0 は完全である。
証明終