>>244の修正

命題
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
左 R-加群の圏 R-Mod は十分多くの単射的対象を持つ(過去スレ019の796)。

証明
M を R-Mod の対象とする。

一般に順序数 ρ に対して S を整列集合で ρ を代表するものとしたとき
S の濃度 |S| を |ρ| と書く。
|ρ| は代表 S の取り方によらない。
|R| ＜ |ρ| となる無限順序数 ρ の中で最小のものを ρ_0 とする。

σ ≦ ρ_0 となる任意の順序数 σ に対して M_σ ∈ R-Mod で次の性質を満たすものを
超限帰納法により定義する。
(*) σ ＜ σ’なら M_σ ⊂ M_σ’

まず M_0 = M とおく。
σ = τ + 1 のときは M_σ = D(M_τ) とおく。
ここで D(M_τ) は>>243で定義した加群である。
σ ≠ 0 が σ = τ + 1 と表わせない場合は M_σ = ∪(M_τ、τ ＜ σ) とおく。
超限帰納法の仮定と条件 (*) より M_σ ∈ R-Mod である。

(*) より M = M_0 ⊂ M_(ρ_0) である。

(続く)