補題(過去スレ019の766のアーベル圏への拡張)
C を分離対象(過去スレ018の212) U を持つアーベル圏とする。
M を C の対象で U の任意の部分対象 V に対して、
Hom(U, M) → Hom(V, M) → 0 は完全であるとする。

X を C の対象とする。
Y を X の部分対象で Y ≠ X (>>247)とする。
u：Y → M を任意の射とする。

このとき、Y ＜ Y’となる X の部分対象 Y’と u の拡張 v：Y’→ M が存在する。

証明
X/Y ≠ 0 であるから標準射 p：X → X/Y は 0 でない。
よって、>>229より h：U → X で ph ≠ 0 となるものがある。
Y’= Im(h) ∪ Y とおく。
pf ≠ 0 であるから Im(h) ≦ Y ではない。
よって、Y ＜ Y’である。

m：Y → Y’を標準単射とする。
f：U＋Y → Y’を f = [h, m] (過去スレ019の36)により定義する。

次の図式を引き戻し(過去スレ017の866)とする。

　　m’
V　 → U
↓h’　↓h
Y　 → Y’
　　m

(続く)