>>244の続き

M_(ρ_0) が単射的であることを証明しよう。
I を R の左イデアルとし f：I → M を R-準同型とする。
まず f(I) ⊂ M_σ となる σ ＜ ρ_0 があることを示そう。

ρ_0 = τ + 1 となる順序数 τ があるとすると τ ＜ ρ_0 で |R| ＜ |ρ_0| = |τ|
となり ρ_0 の定義に矛盾する。
よって、M_(ρ_0) = ∪(M_τ、τ ＜ ρ_0) である。

よって、各 a ∈ I に対して f(a) ∈ M_τ となる τ ＜ ρ_0 がある。
この τ を τ(a) と書く。
τ_0 = sup{τ(a)； a ∈ I} とおく。
τ(a) ＜ ρ_0 であるから ρ_0 の定義から |τ(a)| ≦ |R|
よって、|τ_0| ≦ |R|
よって、τ_0 ＜ ρ_0 である。
よって、f(I) ⊂ M_(τ_0)

よって、>>243より f は R から M_(τ_0 + 1) への射 g に拡張される。
g は R から M_(ρ_0) への射と見なせるから M_(ρ_0) は単射的である。
証明終