命題
C をGrothendieck圏(>>236)とする。
C の対象 Q が単射的対象(過去スレ019の759)であるためには
Q が真の本質的拡大(>>240)を持たないことが必要十分である。

証明
必要性：
>>42より明らかである。

十分性：
Q が真の本質的拡大を持たないとする。
m：Q → X を任意の単射とする。
>>235より m が断面であることを示せばよい。
>>239より X の部分対象 Y で Y ∩ Q = 0 となるものの中で極大なものがある。
P = X/Y は X の商対象 e：X → P であり em：Q → P が単射となるようなものの中で
極小である。
f：P → T を fem が単射となるような射とする。
f’：P → T’を f の像とする。
P の極小性より f’は同型である。
よって f は単射である。
よって em：Q → P は本質的である。
Q は真の本質的拡大を持たないから em は同型である。
g：P → Q を em の逆写像とする。
gem = 1_P であるから m は断面である。
証明終